“Depois dos números naturais, as frações foram o primeiro tipo de número a surgir. Elas aparecem quando as pessoas querem registrar partes de coisas, ao invés de contá-las. ... Elas surgiram muito antes dos números decimais, como forma de representar quantidades não-inteiras, ... Aos poucos a ideia de fração foi se ampliando e outros significados foram criados.” (MEC. Pró Letramento: Matemática: 2008. Fascículo 4, página 8)
O significado de fração para parte de coisas, ou parte-todo como denominamos nas escolas, foi tema do nosso 11° encontro que aconteceu nesse dia 03/05/11 na FMP.
Com dobraduras em tiras de cartolina, os professores representaram um inteiro e frações com partições meio, terço, quarto, quinto, sexto, sétimo, oitavo, nono e décimo. Perguntas como (a) em quantas partes foi dividido o inteiro? (b) como posso representar cada uma das partes? (c) posso somar duas dessas partes? (d) e somar três dessas partes? (e) como posso representar essa soma? (f) quanto dá se somarmos duas partes? (g) e três partes? (h) pegue a soma de duas partes. Quanto falta para completar o inteiro? (i) pegue a soma de três partes. Quanto falta para completar o inteiro? (j) pegue uma das partes. Quanto falta para completar o inteiro?, foram respondidas. O objetivo maior foi de os professores analisarem a relação de partes com seu inteiro, ou seja, quantas partes é preciso juntar para formar o inteiro, ou quantas partes faltam para completar o inteiro, ou ainda, posso juntar duas ou mais partes e mesmo assim não completar o inteiro, entre outros.
Nessa primeira tarefa observou-se uma falha quanto a representação numérica para a fração. Por exemplo, na divisão em três partes iguais, a resposta dada a pergunta “quanto dá se somarmos duas partes?” foi 2. Esse registro dispensou o uso do denominador uma vez que, segundo os professores, estava claro que a divisão era três partes e ao responder duas estariam relacionando a essas três partes. Após um tempo, voltei ao grupo e perguntei qual era o total de partes para a resposta dada em uma das questões e uma professora respondeu que precisaria olhar a pergunta para saber em quantas foram divididas. Isso reforçou a necessidade de representar as partes por meio da fração, pois se isso tivesse sido feito a resposta seria imediata.
Nessa primeira tarefa observou-se uma falha quanto a representação numérica para a fração. Por exemplo, na divisão em três partes iguais, a resposta dada a pergunta “quanto dá se somarmos duas partes?” foi 2. Esse registro dispensou o uso do denominador uma vez que, segundo os professores, estava claro que a divisão era três partes e ao responder duas estariam relacionando a essas três partes. Após um tempo, voltei ao grupo e perguntei qual era o total de partes para a resposta dada em uma das questões e uma professora respondeu que precisaria olhar a pergunta para saber em quantas foram divididas. Isso reforçou a necessidade de representar as partes por meio da fração, pois se isso tivesse sido feito a resposta seria imediata.
Foi com essa ideia que duas representações foram colocadas na mesma tira de cartolina. Ao dividir o inteiro em três partes iguais o registro do grupo em um lado foi 
que quer dizer 1+1+1 parte das três visivelmente representadas. No verso, a fração foi considerada: 
.
É interessante comentar, que os professores não se prenderam ao único objetivo dessa primeira tarefa durante sua resolução. Mesmo não tendo direcionamento os conceitos de equivalência, comparação, tamanho dos inteiros, entre outros, foram considerados. Conclusões como, para serem equivalentes as frações precisam ter denominadores múltiplos entre si, foram destacadas.
Foi aproveitando estes argumentos que duas novas tarefas foram solicitadas, uma para equivalência de frações e outra para comparação de frações.
Quanto a equivalência de frações, a única observação foi a não utilização, inicialmente, das tiras de cartolina. Ao solicitar que outro pedaço do inteiro corresponde a 4/6, tivemos professores que utilizaram a multiplicação e divisão do numerador e denominador por um mesmo número natural. Ou seja,
. Após minha intervenção mostrando como podemos ver essas informações por meio das tiras, esses mesmos professores continuaram utilizando as tiras de cartolina.
que quer dizer 1+1+1 parte das três visivelmente representadas. No verso, a fração foi considerada: 
.É interessante comentar, que os professores não se prenderam ao único objetivo dessa primeira tarefa durante sua resolução. Mesmo não tendo direcionamento os conceitos de equivalência, comparação, tamanho dos inteiros, entre outros, foram considerados. Conclusões como, para serem equivalentes as frações precisam ter denominadores múltiplos entre si, foram destacadas.
Foi aproveitando estes argumentos que duas novas tarefas foram solicitadas, uma para equivalência de frações e outra para comparação de frações.
Quanto a equivalência de frações, a única observação foi a não utilização, inicialmente, das tiras de cartolina. Ao solicitar que outro pedaço do inteiro corresponde a 4/6, tivemos professores que utilizaram a multiplicação e divisão do numerador e denominador por um mesmo número natural. Ou seja,
. Após minha intervenção mostrando como podemos ver essas informações por meio das tiras, esses mesmos professores continuaram utilizando as tiras de cartolina.Foi tranquilo, durante a resolução da tarefa sobre comparação de frações, obterem a conclusão de que quanto maior o denominador menor será a fração quando os numeradores permanecem o mesmo e, quanto maior o numerador maior será a fração quando os denominadores permanecem o mesmo. Também não houve dificuldades ao dividir um mesmo inteiro ao meio de quatro maneiras diferentes e chegar a conclusão de que, mesmo tendo formas diferentes, todas representam a mesma área do inteiro. Vale a pena mostrar uma das divisões realizadas, por ser diferente de todas apresentadas neste encontro com os cursistas e naquele da qual fiz parte como tutora, em Balneário Camboriú. Numa folha A4 foi feito o seguinte:
Mas, a última parte desta tarefa trouxe uma discussão que nem pode ser encerrada no próprio encontro, devendo voltar na próxima semana. Foi solicitado o seguinte: Divida duas folhas de tamanhos diferentes ao meio. Qual é a fração correspondente a um dos inteiros? E qual fração corresponde ao outro inteiro? Essas frações são iguais? O que podemos concluir?. A conclusão que se esperava era de que as frações, mesmo tendo o mesmo registro numérico, não são iguais por serem obtidas de inteiros diferentes. Um professor, não concordando, disse que as frações ½ e ½ sempre serão iguais e que a diferença está apenas na quantidade, ou pedaço das folhas, que conseguimos ao dividi-las em duas partes iguais. Depois de muita conversa, chegamos a conclusão de que, se quisermos saber O QUE É um meio, temos a mesma informação, independente do inteiro, ou seja, um meio é pegar um inteiro e dividir em duas partes iguais. E se quisermos saber QUANTO É um meio, poderemos ter respostas diferentes, pois a fala “quanto é” tem relação com a quantidade, ou ao tamanho do inteiro dado inicialmente. Mesmo assim, ficamos de voltar a essa conversa na próxima semana, como foi dito anteriormente.
Foi um encontro bem produtivo e participativo. Deixo, em anexo, a sequência de atividades que foi trabalhada neste encontro. E, a seguir, algumas fotos.
Foi um encontro bem produtivo e participativo. Deixo, em anexo, a sequência de atividades que foi trabalhada neste encontro. E, a seguir, algumas fotos.
